Jak se počítá jehlan

Jak vypadá jehlan

Jehlan je v podstatě hranol, který ale na jedné straně končí špičkou. Podstavu (dno) může mít jakéhokoliv tvaru (vyjma kulatého, to je pak kužel). V odborné terminologii se dočtete, že podstavou jehlanu je mnohoúhelník.

Tedy trojúhelník, čtverec, obdélník, lichoběžník, pětiúhelník, šestiúhleník atd. Množství stran mnohoúhelníku coby dna hranolu není omezeno. Strany mohou být všechny stejně dlouhé, pak hovoříme o jehlanu pravidelném, ale i mohou mít různé délky, kdy se jehlanu říká nepravidelný.

Pro příklad uveďme podtstavu ve tvaru čtverce, která vykouzlí pravidelný jehlan, versus ve tvaru lichoběžníku, ze kterého vznikne jehlan nepravidelný.

To bylo dno, resp. podstava. Naproti podstavě je pak vrchol jehlanu, což je špička, geometricky řečeno jeden bod. Všechny strany jehlanu, které vycházejí ze stran podstavy, se nahoře sbíhají do jediného bodu.

Takže jehlan může mít dole jakýkoliv hranatý tvar, nahoře je to vždy špička.

Jak se počítá objem jehlanu

A teď se podívejme, jak vypočítat objem něčeho, co může mít dole jakýkoliv hranatý tvar, a nahoře je to špička, resp. jediný bod. Ve skutečnosti je to velmi jednoduchý postup, protože už je zjištěno, že objem takového jehlanu je třetinový ve srovnání s objemem hranolu se stejnou podstavou a stejnou délkou.

Ovšem pozor, nesmíme si plést výšku jehlanu (jeho celkovou délku) s délkou jeho stran. Výška jehlanu znamená, kam dosáhne jeho špička, když byste jej postavili na zem. Strana jehlanu bude vždy delší než jeho celková výška, protože strana je šikmá.

Samotný výpočet objemu jehlanu je pak snadný, vynásobíme obsah jeho podstavy a jeho výšku (délku), celé to vydělíme třemi. Takže u čtvercového jehlanu je to obsah čtverce krát výška jehlanu, to celé děleno třemi, u obdélníkového je to obsah obdélníku krát výška jehlanu, to celé děleno třemi atd.

Proto se vzorec pro výpočet objemu jehlanu zapisuje jako jedna třetina objemu hranolu se stejnou podstavou a výškou (délkou). Matematicky jde o následující zápis:

V = 1/3 S_p . v

Písmenka tohoto zápisu znamenají následující:

• Vje objem
• S_p je obsah podstavy (dna)
• vje výška jehlanu

Takže pro výpočet objemu jehlanu jen vynásobíte obsah podstavy s výškou jehlanu, pak to celé vydělíte třemi – a je hotovo!

Může nastat prekérní situace, a to například tehdy, když neznáte výšku jehlanu, nýbrž pouze délku jeho strany. Výška totiž bude vždy o něco kratší. Pokud není známa výška, tak to ve výsledku tolik nevadí, protože si ji prostě dopočítáte.

Třeba tak, že budete ze zadání znát alespoň úhel alfa (α), který svírá strana jehlanu s jeho dnem (podstavou).

Výšku pak vypočtete z pravidel pravoúhlého trojúhelníku (pravý úhel svírá podstava s výškou jehlanu – a pozor, ta nemusí vždy směřovat ke středu podstavy, avšak vždy bude v pravém úhlu!) Výška se spočítá následovně:

v = s . sin α

Písmenka tohoto zápisu znamenají následující:

• vje výška jehlanu
• s = délka strany jehlanu
• α = úhel, který svírá stěna jehlanu s podstavou (dnem)

Nebo u jehlanu můžete znát délku strany (pravidelného jehlanu) a vzdálenost od rohu podstavy jehlanu do jejího středu, čemuž se říká polovina úhlopříčky podstavy- Tím vznikne pravoúhlý trojúhleník, u nějž znáte dvě strany (delší stranu c a kratší stranu a), takže si podle Pythagorovy věry dopočítáte poslední stranu b, což je výška jehlanu.

c² = a² + b²

a z toho dopočítáte, že b² = c² – a², takže výsledné b neboli výška jehlanu je pak odmocninou z b².

Potřebujete vědět, jak se počítá druhá odmocnina?

A teď už výpočtu objemu jehlanu opravdu nic nebrání!

Jak se počítá povrch jehlanu

Povrch jehlanu je také poměrně jednoduchý, v podstatě počítáte jeho celou povrchovou plochu. Z výpočtu objemu už máte zjištěn obsah podstavy – a ano, obsah je to samé, co povrch. Teď už zbývá spočítat obsahy všech útvarů, které tvoří plášť jehlanu, jinými slovy boční strany.

Vzhledem k tomu, že podstava je vždy hranatá (mnohoúhelník), tak je plíšť tvořen jednotlivými trojúhelníky. Proto celkový povrch jehlanu znamená součet obsahů všech trojúhelníků tvořících plášť a ještě obsahu podstavy k tomu.

Matematický zápis je pak následující:

S = S_p + S_pl

Písmenka tohoto zápisu znamenají následující:

• Sje povrch jehlanu
• S_p je obsah podstavy
• S_pl je obsah pláště

A proč se používají slova obsah a povrch, když jde o podobné věci, tedy o velikost jejich svrchní plochy? Jde o odborné názvosloví v geometrii, kdy obsah je spojen s dvourozměrnými útvary (čtverec, obdélník, kruh, trojúhelník atd.), zatímco povrchem se vždy myslí svrchní plocha trojrozměrného tělesa, jako je jehlan, kužel, koule, kvádr, hranol apod.

Možná si budete chtít spočítat kubík dřeva nebo vzdálenost blesku.