Jak se počítá úhlopříčka

Co je úhlopříčka

Matematická definice říká, že “úhlopříčka je úsečka, která spojuje dva nesousední vrcholy”. Pokud tedy vezmeme čtverec ABCD, bude úhlopříčka úsečkou jdoucí mezi body AC (první úhlopříčka) a BD. (druhá úhlopříčka).

Úhlopříčky se označují malým písmenem „u“ s přidáním čísla nebo vrcholů, které spojuje. Takže se můžete potkat se zápisem „u1, u2“ nebo „uAC, uBD“.

Úhlopříčka tvoří buď trojúhelník – zároveň s dalšími dvěma stranami útvaru či tělesa, nebo víceúhelník – zde to záleží na poloze úhlopříčky, mezi kterými body tělesa či plochého útvaru ji povedeme.

Úhlopříčka je vždy přeponou, pokud tvoří se svými dvěma vrcholovými body trojúhelník. Proto je vždy delší než každá ze stran geometrického útvaru, které spojuje. Pokud se jedná o úhlopříčku obdélníku nebo čtverce, je úhlopříčka vždy delší než kterákoliv jejich strana. U lichoběžníku už toto platit nemusí.

U čtverce spolu úhlopříčky svírají pravý úhel a dělí celý čtverec na dvě stejné poloviny. U obdélníku platí rozdělení na dvě stejné poloviny také, ale úhlopříčky spolu v místě, kde se střetnou, svírají jiný než pravý úhel.

Obě úhlopříčky rozdělí čtverec i obdélník na čtyři čtvrtiny s tím, že se vždy protínají ve své polovině, zároveň označují střed kružnice, která by opsala jak čtverec, tak obdélník. U nepravidelných útvarů a u víceúhelníků toto však neplatí.

Jak se počítá úhlopříčka čtverce či obdélníku

U pravoúhlých útvarů, jakými jsou právě čtverec, obdélník, krychle nebo kvádr, se úhlopříčka počítá jako přepona trojúhelníků, a to buď podle Pythagorovy věty, kdy délka přepony na druhou se rovná součtu délky první přepony na druhou a druhé přepony na druhou. Délka samotné přepony je pak odmocninou z tohoto součtu.

Matematicky pak zapíšeme výpočet následovně:

c²  = a²+b²

c (přepona) = druhá odmocnina se součtu a²+b²

Někdy známe jen délku jedné strany a k tomu úhel, který úhlopříčka svírá s jednou ze stran. V takovém případě je nutné použít goniometrických funkcí, neboť jeden z úhlů trojúhelníku, v němž je úhlopříčka přeponou, je vždy pravým úhlem.

Díky nim goniometrii pak vypočítáte buď délku druhé strany a úhlopříčku dopočtete pomocí výše zmíněné Pythagorovy věty, nebo vypočtete přímo délku úhlopříčky.

V tomto případě si pro účely goniometrie pojmenujeme přeponu jako stranu „c“, podle toho i vrcholy trojúhelníku, kdy úhlopříčka sahá od bodu A do bodu B, Bod C je vrcholem čtverce, obdélníku, krychle nebo kvádru, k němuž se úhlopříčka vztahuje.

Pozor: označení trojúhelníku, v němž je úhlopříčka přeponou, písmeny A, B a C pro účely využití goniometrických funkcí se nyní vůbec neshoduje s původním označením čtverce nebo obdélníku, proto si udělejte zvlášť nákres, abyste sami sebe při výpočtu nemátli!

Ještě připomeňme, že goniometrické vztahy jsou následující:

• c = a / sin α
• c = b / cos α
• tg α = sin α / cos α
• cotg α = cos α / sin α

Jak se počítá úhlopříčka krychle nebo kvádru

U krychle či kvádru se dostáváme k naprosto stejnému výpočtu úhlopříčky, protože i v krychli nebo kvádru, což jsou prostorové útvary, tvoří ve výsledku úhlopříčka spojující dva vrcholy a dvě strany plochý trojúhelník.

Jen je potřeba si úhlopříčku řádně nakreslit a trojúhelník identifikovat. I pokud se jedná o tělesovou (prostorovou) úhlopříčku, v řezu to bude zase jen trojúhelník dělící krychli nebo kvádr na dvě stejně velká tělesa.

Postup je pak stejný, tedy pomocí goniometrie nebo Pythagorovy věty.

Jak se počítá úhlopříčka lichoběžníku, mnohoúhelníku nebo nepravidelného prostorového útvaru

Jakmile se posuneme do problematiky nepravidelných geometrických útvarů a těles, v podstatě omezujeme možnosti využít k výpočtu goniometrických funkcí, či Pythagorovy věty, neboť u nepravidelných útvarů a u těles založených na podstavě jiné, než čtverec a obdélník, či u hranolů, kde jsou podstavy navzájem odlišné, se nenajdou pravé úhly v každém vrcholu trojúhleníku, jehož součástí je počítaná úhlopříčka.

Často, pokud v trojúhelníku pravý úhel nemáme, si pak musíme pomoci výškou trojúhelníku, která je kolmá na přeponu – a díky ní vytvořit dva menší pravoúhlé trojúhelníky, u nichž vypočítáme délku odvěsen, obě odvěsny, které úhlopříčku tvoří, pak sečteme – a máme délku výsledné přepony i tam, kde pravý úhel původně vůbec nebyl.

Podívejte se, jak spočítat obvod nebo jak se počítá metr čtvereční.